Les maths en première secondaire

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?


Définition :
Un nombre premier est un nombre qui accepte exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Attention !
1 n'est donc pas un nombre premier, il n'accepte qu'un seul diviseur !

Exemples :
2 (divisible par 1 et par 2 uniquement)
3 (divisible par 1 et par 3 uniquement)
5 (divisible par 1 et par 5 uniquement)
7 (divisible par 1 et par 7 uniquement)
11 (divisible par 1 et par 11 uniquement)
13 (divisible par 1 et par 13 uniquement)
17 (divisible par 1 et par 17 uniquement)
...

Qu'est-ce qu'un nombre "naturel" ?


1. Les nombres entiers

Un nombre entier est un nombre sans partie décimale, sans virgule.

Exemples :
7 est un nombre entier
7,3 n'est pas un nombre entier
69 796 531 est un nombre entier
348,439742 n'est pas un nombre entier


2. Les nombres positifs

Un nombre positif est un nombre plus grand que 0, sans signe "-" (moins).

Un nombre qui n'est pas positif est appelé négatif. Il est plus petit que 0 et est précédé du signe "-".

Etrangement, 0 est à la fois positif et négatif (c'est le seul nombre dans ce cas).

Exemples :
7 est un nombre positif
-7 n'est pas un nombre positif, c'est un nombre négatif
54 352 est un nombre positif
-136 est un nombre négatif


3. Les nombres naturels

Un nombre "naturel" est un nombre entier positif.

L'ensemble des nombres naturels est désigné par la lettre N.

Exemples :
7 est un nombre naturel
-12 n'est pas un nombre naturel (il n'est pas positif)
5,42 n'est pas un nombre naturel (il n'est pas entier)
-22,5871 n'est pas un nombre naturel (il n'est ni entier ni positif)
132 964 758 est un nombre naturel
1 634 est un nombre naturel
45 est un nombre naturel

Comment simplifier une fraction ou comment rendre une fraction irréductible ?


1. Fractions égales

Deux fractions sont égales si, pour passer de l'une à l'autre, il suffit de multiplier ou de diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre.

Exemple commenté :
1/3=2/6
En multipliant le numérateur (=1) et le dénominateur (=3) par 2, on obtient un nouveau numérateur (1X2=2) et un nouveau dénominateur (3X2=6); ce qui donne la nouvelle fraction 2/6
De la même manière, on peut érire 1/3=2/6=3/9=4/12=5/15...

Autres exemples :
4/6=2/3
3/5=12/20
7/12=21/36
8/6=4/3


2. Simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c'est l'écrire sous une forme plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Exemples :
10/16 devient 5/8 (on divise le numérateur et le dénominateur par 2)
16/24 devient 8/12 ou 4/6 ou 2/3
555/7215 devient 1/13


3. Fraction irréductible

Une fraction est dite irréductible s'il n'est plus possible de la simplifier.

Rendre une fraction irréductible, c'est donc diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand nombre possible (ce nombre est appelé le PGCD* ou Plus Grand Commun Diviseur).

Il est généralement demandé de donner la réponse d'un calcul sous la forme d'une fraction irréductible.

Exemples:
3/6 n'est pas une fraction irréductible
3/5 est une fraction irréductible
7/21 n'est pas une fraction irréductible et peut s'écrire sous la forme 1/3 qui est la fraction irréductible correspondante.


* La manière de calculer le PGCD de deux nombres sera exppliquée dans un post ultérieur.

Comment classer deux fractions ?

1. Les fractions ont le même dénominateur

Si deux fractions ont le même dénominateur, la fraction la plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand.

Exemples :
5/7 est plus grand que 3/7
13/29 est plus petit que 22/29


2. Les fractions ont le même numérateur

Si deux fractions ont le même numérateur, la fraction la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit.

Exemples :
5/13 est plus grand que 5/17
2/9 est plus petit que 2/3


3. Les fractions n'ont ni le même numérateur ni le même dénominateur

Ils faut alors réduire ces fractions au même dénominateur* et suivre la règle du cas 1.

Exemple :
Quelle est la fraction la plus grande ? 3/4 ou 5/6 ?
Le dénominateur commun est 12
On a 3/4=9/12 et 5/6=10/12.
On sait que 10/12 est plus grand que 9/10.
5/6 est donc plus grand que 3/4.

* La manière de réduire deux fractions au même dénominateur sera expliquée dans un autre post.